3. Historische achtergronden

Les 1: Bijbeltekst, Babylonië, Egypte en de papyrus Rhind.

Les 2: Archimedes, Ptolemeus, Zu Chongzhi, Al-Khasji, Ludolph van Ceulen en Metius.

Les 3: Leibniz, Euler, Graaf Georges Buffon en de rekenmachine.

Les 4: Formules, kwadratuur van de cirkel en transcedentie.

Les 1

We starten in les 1 met de Bijbeltekst uit 1 Koningen 7:23. Bij de beschrijving Salomo's paleis wordt het metaalwerk van de tempel beschreven. Koning Salomo gaf Hiram uit Tyrus opdracht om het werk uit te voeren. Er wordt zeer uitgebreid beschreven hoe het koperwerk er uit zag:

Hij vormde namelijk de beide koperen zuilen; achttien el was de ene zuil hoog, een een meetsnoer van twaalf el kon haar omspannen, en evenzo was het bij de tweede zuil. [4]

De bijbelse el is ongeveer 49,5 cm. [5] Een koperen zuil van ongeveer 9 meter hoog met een doorsnede van 2 meter!

We vervolgen met van de Babyloniërs. Lange tijd werd er van uit gegegaan dat in Mesopotanië voor de oppervlakte van een cirkel drie keer het kwadraat van de straal nam. In 1936 echter heeft men in Susa, een paar honderd kilometer van Babylon, een aantal kleitabletten gevonden waar vanuit één van deze kleitabletten kan worden afgeleid dat de schrijver de waarde heeft gebruikt om de oppervlakte van een cirkel uit te rekenen. [6]

Naast de omtrek laten we in les 1 leerlingen ook de oppervlakte uitrekenen. Dit doen we (bijna) op de manier waarop de oud-Egyptenaren dat deden, althans zo als dat beschreven wordt in de papyrus Rhind: De Egyptische klerk Ahmes schreef in de papyrus Rhind (1500 v.Chr.) dat de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan 8/9 maal de diameter in het kwadraat , wat voor een waarde van (16/9)² ofwel 3,16049.. betekent. [7]

Maar het kan anders:

Het oppervlak van de cirkel met middellijn d werd uit de formule(d-d/9)² berekend, hetgeen tot een waarde van =256/81 leidt... [8]

Dat komt weliswaar op hetzelfde neer, maar geeft toch beter weer wat er in de papyrus Rhind staat. Bij de berekening van de inhoud van een cilinder met een diameter van 9 en een hoogte van 10 staat er in de papyrus Rhind:

Een interessante vraag is natuurlijk: hoe komen de Egyptenaren aan deze 'benadering' van ?

Volgens Boyer & Merzbach(1989) geeft probleem 48 van de papyrus Rhind misschien een aanwijzing. In het probleem wordt een (onregelmatige) achthoek gemaakt van een vierkant met zijde 9. Door de zijden in drieën te verdelen en de buitenste punten te verbinden ontstaat door weglating van de driehoekjes een achthoek. De oppervlakte van deze achthoek (=63) wijkt niet veel af van de oppervlakte van een vierkant met zijde 8. [10] De oppervlakte van de ingeschreven cirkel is dus 64. Dit zou leiden tot een waarde van van 4.(8/9)² = 256/81

In les 1 wordt nog even gewezen op het feit dat het symbool voor de verhouding van omtrek en diameter pas gebruikt word vanaf de 18e eeuw. [12] Het symbool komt in een paar geschriften van de 17e en 18e eeuw voor, maar werd het eerst algemeen aanvaard nadat Euler het in zijn veel gelezen 'Introductio' van 1748 geregeld had gebruikt. [13]

Les 2

In les 2 laten we leerlingen eerst zelf proberen om met behulp van een regelmatige veelhoek een benadering voor te vinden. Hier komt Archimedes ter sprake. De door ons gevolgde methode lijkt op de manier waarop Archimedes tot de benadering kwam van 223/71 < < 22/7. [14]

Andere benaderingen, als van Ptolemeus, Zu Chongzhi en Al-Khasji worden even genoemd. [15]

Claudius Ptolemeus is een Griekse sterrenkundige, schrijver van de 'Almagest' (ca.150 n. C.), een groot astronomisch meesterwerk waar onder andere over goniometrie geschreven wordt, met een koordentafel voor verschillende hoeken. [16]

De Chinese fascinatie voor bereikte zijn hoogtepunt in het werk van Zu Chungzhi (430-501). Een van zijn waarden was dezelfde als van van Archimedes' 22/7, maar door Zu Chungzhi omschreven als 'onnauwkeurig'. Zu's nauwkeurige waarde was 355/113. De berekeningen die hij en zijn zoon uitgevoerd hebben om tot deze benadering te komen, zijn verloren gegaan. Het resultaat was uniek voor die tijd. Het is niet voor niets dat men een maankrater naar Zu Chungzhi heeft genoemd.

Al-Khasji, een Arabische wetenschapper, stierf in 1436. Al-Khasji is een belangrijk figuur in de ontwikkeling van decimale breuken. Zijn sterke kant was de nauwkeurigheid waarmee hij rekenende. Al-Khasji gaf zijn een benadering voor 2 in decimale notatie:

6,2831853071795865

Dit resultaat werd pas laat in de 16e eeuw door Ludolph van Ceulen verbeter. [17]

Een groot gedeelte van de 'Arabische' wiskunde en bijna de gehele Chinese wiskunde hadden nog steeds een sterk algoritmisch-algebraïsch karakter, net als alle oosterse wiskunde, maar vergelijken met de antieke methoden was het een flinke stap vooruit. [18] In West-Europa bereikt men pas tegen het einde van de 16e eeuw een niveau dat met deze Arabisch-Chinese wiskunde kan worden vergeleken.

Indische, Arabische en Chinese wiskunde hebben elkaar ongetwijfeld wederzijds beïnvloed. Van een directe Chinees-Griekse beïnvloeding is weinig te bespeuren, ondanks het bestaan van parallelle ontwikkelingen. Een aardig detail is dat de waarde voor van Zu Chungzhi van 355/113 verkregen kan worden uit de waarde 377/120 (Ptolemeus) en 22/7 (Archimedes) door tellers en noemers van elkaar af te trekken. Als men per sé wil volhouden dat er van directe beïnvloeding sprake moet zijn geweest, zou men dit als argument kunnen gebruiken. [19]

Aan de hand van een tekst uit 'Grondbeginselen der meetkunde' van J.H. van Swinden [20] komen we in les 2 de namen tegen van Archimedes, Ludolf van Ceulen en Metius. Een oefening in het lezen van een historische tekst, waarom niet?

Ludolph van Ceulen, een wiskundige en schermmeester in Delft, heeft een groot deel van zijn leven gewijd aan het berekenen van . Hij berekende eerst in 20 decimalen ('Van den Circkel', 1596), later in 35 decimalen, door steeds meer en meer in- en omgeschreven veelhoeken te berekenen. [21] De waarde van in 35 decimalen was op de grafsteen in de Pieterskerk in Leiden uitgebeiteld. [22] Toen bij het herbouwen van die kerk de grafsteen werd vernietigd, was het grafschrift al opgenomen in een beschrijving van Leiden, zodat het levenswerk van Ludolf van Ceulen bewaard bleef. [23]

De waarde 355/113 wordt wel eens de waarde van Metius genoemd. Rond dezelfde tijd als Ludolf van Ceulen 'ontdekte' Adriaen Metius, professor in Franeker [24] , bij toeval Zu Chungzhi's precieze benadering 355/113, door uit te gaan van twee grenzen die door zijn vader waren berekend, 377/120 (Ptolemeus!) en 333/106, en gewoon maar het gemiddelde van de tellers en het gemiddelde van de noemers te nemen. [25]

Een aardig detail is dat in Duitsland ook wel wordt aangeduid met 'De constante van Ludolf' [26], terwijl in engelstalige landen men ook wel aanduidt met 'De constante van Archimedes'. [27]

Les 3

In les 3 beginnen we met een alcoholvrije versie van "I like a drink..." . [28] Daarop volgend geven we een (onvolledig) overzicht van de berekening van steeds meer decimalen van . [29]

In les 3 willen we iets laten zien van het voorkomen van in onverwachte situaties.

We kijken naar een 'ontdekking' van Leibniz in 1673: [30]

Verder kijken we naar: [31]

Euler (1748)

Maar dan op een heel eenvoudig niveau. Het is alleen bedoeld om te laten zien dat niet zo maar een constante is, maar een constante die elke keer weer opduikt.

Aan de hand van het 'naaldenprobleem' van Graaf Georges Buffon(1707-1788), maken de leerlingen (voor het eerst?) kennis met kansen. Hierbij komen ze natuurlijk weer tegen. Buffon stelde dat bij het willekeurig laten vallen van een naald op een gearceerd oppervlak, de kans dat de naald een lijn raakt gelijk is aan 2L/ d. Hierbij is L de lengte van de naald en d is de afstand tussen de lijnen. Hierbij moet L kleiner zijn dan d. [32]

Aan het einde van les 3 komt nog even de rekenmachine aan bod. In het licht van de geschiedenis hebben leerlingen het toch maar makkelijk. Ze toetsen even een toetsje in en hebben de beschikking over een benadering voor met 7 à 9 decimalen.

Men zou nog iets kunnen doen met de verborgen decimalen van de rekenmachine. Er staat wel 3,141592654 op het scherm (10 posities), maar in het geheugen staat wel degelijk 3,1415926536 (11 posities), dus eigenlijk zijn het zelfs 10 decimalen, de rekenmachine rekent met meer decimalen dan het schermpje laat zien. [33]

Kortom: handig zo'n knopje voor , want dit betekent dat leerlingen met de rekenmachine nauwkeuriger kunnen rekenen dan wanneer je ze wil doen laten geloven dat ongeveer 3,14 is. Dat is naar ons idee niet nodig.

Les 4

In les 4 eerst maar eens de formules voor de omtrek en de oppervlakte van een cirkel op een rijtje gezet.

We vertellen iets over de kwadratuur van de cirkel. Hierover zou men een boek kunnen schrijven. [34] In Wells(1986) kan men een paar mooie verhalen vinden, volgens Wells leiden veel cirkelkwadrateerders aan een zo ziekelijk zelfvertrouwen dat het ras wel nimmer zal uitsterven. [35]

Voor wiskundigen werd het probleem van de kwadratuur van de cirkel opgelost in 1882 door Ferdinand Lindemann, die bewees dat transcedent is, dat wil zeggen: niet de oplossing is van een algebraïsche vergelijking met rationale coëfficienten en eindig veel termen. Om dat elke met een passer en lineaal te construeren getal aan zo'n vergelijking voldoet, kan een dergelijke constructie nooit tot de kwadratuur van de cirkel leiden. [36]

In les 4 ten slotte wat oefeningen met het rekenen aan cirkels en cirkelsegmenten. In de laatste opdracht kijken we nog één keer naar probleem 41 van de papyrus Rhind. [37] En zijn we weer waar we begonnen waren.

Home

Weblog

Links

Prikbord

Email

FAQ

Zoeken

Colofon

©2002-2010 WisWijzer